Bases trigonométriques

La trigonométrie est généralement une matière qu'on apprécie peu, et qui peut faire remonter de mauvais souvenirs du collège et du lycée. Sinus, cosinus et tangente : des termes barbares au sens plutôt mystérieux, qu'on a dû utiliser à l'injonction d'un professeur de mathématique sans vraiment savoir d'où ils sortent.

Il est très simple, avec n'importe quel logiciel de CAO, de réaliser un traçage sur un plan : la longueur et la largeur s'additionnent ou se soustraient et permette aisément de calculer les coordonnées de points de repères dans l'espace. Par exemple, si nous voulons tracer un rectangle de 10x5 mm, si un point est à (0,0), nous pouvons facilement calculer les autres coordonnées, par exemple : (0,5), (10,5) et (10,0). Ça fonctionne très bien tant qu'on travaille parallèlement aux axes X et Y, mais c'est tout de suite plus complexe quand les angles entrent en jeu.

Nous avons été habitué, par nos lointains cours de trigonométrie, à utiliser la fameux, l'immortel : le théorème de Pythagore, ce qui nous pousse instinctivement à recherche partout des angles droits et des triangles rectangle partout pour être en mesure d'appliquer l'une des trois formules apprise par cœur grâce à un quelconque moyen mnémotechnique :

tangente(a) = coté opposé / coté adjacent

cosinus(a) = coté adjacent / hypoténuse

sinus(a) = coté opposé / hypoténuse

Or la trigonométrie n'est pas seulement un moyen de calcul dans le triangle, qui sont dans 99% des cas l'usage qu'on nous en a demandé, mais aussi un très performant outil de calcul pour le cercle. Le schéma ci dessus présente les rapports entre le cercle qu'on appelle "trigonométrique", c'est à dire un cercle de rayon = 1 unité, dont le point de départ est situé à (1,0) c'est à dire le point le plus à droite, et qui suit le sens inverse des aiguilles d'une montre de telle sorte que 90 degrés est en haut, 270 en bas. Je parle ici en degrés mais c'est bien les radians que nous allons utiliser.

Un cercle et la visualisation des sinus, cosinus et tangente
Visualisation des rapports des sinus, cosinus et tangente au cercle

 

Contrairement aux degrés que nous connaissons bien pour les utiliser depuis notre première rencontre avec le monde merveilleux des angles, les radians suggèrent généralement la difficulté, probablement à cause de leur relation permanente avec π, ennemi de tout ceux qui préfère que décidément, les nombres qui ont une fin c'est quand même mieux. Et pourtant il n'y a rien de très difficile. Chacun se souvient de la formule de calcul du périmètre P d'un cercle de rayon R :

P = 2πR

Imaginons (puisque c'est la cas) que ce cercle trigonométrique ait un rayon égal à 1. Alors :

P = 2π×1 = 2π

Or l'angle maximum en radiant, l'équivalent de 360°, est justement . Cela signifie donc que l'angle exprimé en radians correspond à la longueur de l'arc couvert par l'angle sur un cercle de rayon = 1.

Plus intéressant encore, comme on peut le voir sur le schéma ci dessus, les sinus et cosinus correspondent tout simplement aux coordonnées du point résultant de l'intersection de l'angle et du cercle. L'axe "X" horizontal correspond à la valeur cosinus, l'axe "Y" vertical au sinus. Le cercle ayant un rayon égal à 1, on comprend enfin pourquoi sinus et cosinus ont pour valeur minimale et maximale respectivement -1 et 1. On comprend aussi plus facilement les raisons de variation du signe : le quart nord-est est positif pour cosinus et sinus, le quart nord-ouest négatif pour cosinus mais positif pour sinus, etc …

Pour la tangente c'est un peu différent. La valeur tangente et la droite tangente sont deux choses différentes. La droite, comme son nom l'indique, c'est la droite tracée ici, c'est à dire sécante en un point unique. La valeur qu'on symbolise par tan correspond en réalité à la pente de cette droite, c'est à dire le rapport entre la distance parcourue sur un axe et sur l'autre axe. Prenons un exemple : si une droite passe par le point (0,0) et par le point (1,1) alors elle parcourt 1 en X en même temps qu'elle parcourt 1 en Y et a donc une pente de 1/1 = 1. Si une droite passe par le point (0,0) et par le point (1,5), alors elle parcourt 1 en X en même temps qu'elle parcourt 5 en Y et a donc une pente de 5/1 = 5. Pas bien compliqué une fois qu'on sait comment ça marche. Pour ceux que ça intéresse, la pente est aussi appelée coefficient directeur et généralement identifié en mathématiques par la lettre m.

Maintenant que nous savons d'où viennent ces différentes valeurs, pourquoi les utiliser ? Pour leur relation directe entre angle et distance : on aura aucun mal à transformer un angle exprimé en radians en une distance exprimée en millimètres, alors que transformer des degrés en distance nécessite soit l'utilisation d'un triangle et d'un théorème adapté, soit d'un cercle et donc implicitement des radians.

Doit-on pour autant les utiliser en permanence ? Si on est à l'aise avec les radians, pourquoi pas, mais généralement il est plus adapté de travailler avec les radians lorsqu'on fait un script ou de la programmation, ou qu'on a à calculer des relations de distances et d'angles, mais le système des degrés, qui fonctionne de façon similaire à une horloge avec un système duodécimal ("base 12") semble plus conforme à nos habitudes quotidienne. On peut envisager également les grades (division du cercle en 400 unités), mais le système n'est ni intuitif comme pour les degrés, ni lié à des dimensions géométriques généralement utilisées en CAO : la définition des grades est liée historiquement à la topographie. Nous verrons au hasard des prochains tutoriels la pertinence de leur utilisation selon les contextes.

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